Matematica

Che cos’è un nodo matematico?

Che cos’è un nodo matematico?

Elia Magrinelli

gennaio 5th, 2016

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Sapete dire qual’è il numero che viene dopo nella sequenza: 0,0,1,1,2,3,7,21,49 ? La risposta corretta è 165 e probabilmente è sconosciuta a chiunque non conosca il concetto di nodo matematico. Questa sequenza indica infatti il numero di nodi matematici esistenti che possiedono un determinato numero di incroci. Come spiega in questo video Carlo H. Séquin, professore all’Università di berkeley, esistono 0 nodi con 1 incrocio, 0 con 2 incroci, 1 con 3, 1, con 4, 2 con 5 e così via.

Ma che cos’è innanzitutto un nodo matematico? Il prof. Séquin comincia spiegando che un nodo matematico è diverso da quello che solitamente si associa ad un nodo, compresi tutti i nodi nautici o il nodo dei lacci delle nostre scarpe. Un nodo matematico è un nodo formato da una linea chiusa, come un elastico, che però non può essere risolta da un numero minimo di incroci. Sebbene possiamo piegare e deformare un semplice elastico per farlo sembrare molto annodato, possiamo comunque tirarlo in modo da risolvere questi nodi senza romperlo.

Un nodo matematico è quindi un nodo presente in una linea chiusa che non può essere risolto senza rompere questa linea. Il nodo matematico più semplice, con il numero più basso di incroci, 3, è il nodo a trifoglio. Ruotando la prospettiva di questo nodo potrebbe sembrare avere più incroci, ma il numero minimo di incroci che vedremo con questo nodo è 3. potrebbe anche avere un’aspetto molto irregolare, ma se manipoliamo abbastanza la linea senza romperla potremmo sempre trovare i minimi 3 incroci in un nodo trifoglio.

La ricerca del numero minimo di incroci in un nodo matematico è un processo molto difficile, per il quale al momento non esistono metodi certi che permettano di risolvere con sicurezza nodi molto complicati, con 20 o più incroci ad esempio. Il primo passo nella classificazione di un nodo, per poter ad esempio distinguere se un nodo è diverso da un’altro, è quello di arrivare alla struttura più semplice di un nodo e pertanto capire a quale categoria di nodo appartiene quello che stiamo analizzando. Nel caso di un nodo a 3 incroci ne esiste solamente uno, il nodo a trifoglio, ed eventualmente la sua immagine allo specchio che è comunque considerata lo stesso nodo.

Anche nella categoria di nodi con 4 incroci ne esiste un solo tipo, il nodo a figura 8, che sebbene possa essere rappresentato in modi diversi è sempre lo stesso nodo, poichè può transizionare da una forma all’altra senza essere rotto. In generale un nodo matematico viene classificato con 2 numeri separate dua una _. Il nodo trifoglio pertanto è 3_1 dove 3 indica il numero di incroci ed 1 indica il nodo specifico. il nodo a figura 8 è 4_1. Nella categoria a 5 incroci esistono 2 nodi, 5_1 e 5_2, entrambi hanno 5 incroci minimi, ma è impossibile ottenere un nodo 5_1 da un nodo 5_2 senza romperne le linee e pertanto sono due nodi diversi.

Anche oggi, nell’era dei computer, è difficile avere un metodo in grado di risolvere facilmente questi nodi. Esistono alcune misure matematiche che ad esempio appiattiscono un nodo in una superficie nella quale sullo stesso punto esiste solamente un incrocio massimo. Assumendo di percorrere lungo la linea di questo nodi si percorrono questi incroci passandoli in volta come dei sottopassi ed una seconda volta come dei sovrappassi o viceversa. In questo modo si può descrivere come è formato un certo nodo. Un altro metodo consiste nello spezzare il nodo nei vari incroci risolvendoli in semplici e incroci con 4 terminazioni e poi ricomporre lo stesso nodo con queste parti più semplici rendendo più formale la rappresentazione di un certo nodo. Altri metodi prevedono la formulazione di diversi polinomi. Nonostante ciò è ancora difficile distinguere 2 nodi matematici complicati tra di loro.

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