Matematica

Un metodo intelligente per elaborare numeri enormi

Un metodo intelligente per elaborare numeri enormi

Elia Magrinelli

ottobre 23rd, 2016

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Per quanto possa fare o meno piacere, i numeri sono ovunque e li utilizziamo ogni giorno. Alcuni numeri, come la velocità del suono (343 metri al secondo, sono piccoli e facili da utilizzare, altri numeri, come la velocità della luce (299792458 metri al secondo) sono molto più grandi e difficili da maneggiare. Possiamo però utilizzare la notazione scientifica per utilizzare questi numeri in un formato molto più semplice. Possiamo ad esempio scrivere 299792458 metri al secondo come 3.0 x 10^8 metri al secondo. La notazione esponenziale scientifica richiede che il primo numero sia compreso tra valori più grandi di 1 e più piccoli di 10, il secondo termine rappresenta l’ordine di potenza di 10 alla quale moltiplichiamo il primo termine. Inoltre è possibile usare la potenza di 10 come un facile strumento per effettuare rapide stime di una qualche misura, qualora non abbiamo bisogno o non vogliamo il numero esatto del valore da stimare, questo video di Ted-ED ci spiega come.

Ecco alcuni esempi di come utilizzare questo metodo: il diametro di un atomo, pari a circa 10^-12 metri, l’altezza di un albero, pari a circa 10^1 metri, ed il diametro della Terra, pari a circa 10^7 metri. Vi sono molte situazioni nelle quali la potenza di 10 può tornare utile come metodo per stimare grandezze, come quando si cerca di contare il numero di M&M’s in un barattolo, nonché è essenziale in molti ambiti della matematica ed altre scienze, in particolare quando bisogna affrontare alcuni dei cosiddetti problemi di Fermi.

Questi problemi prendono il nome proprio dal fisico Enrico Fermi, noto per la sua capacità di fare rapide stime degli ordini di grandezza con pochi dati disponibili. Tra le varie cose, Fermi lavorò anche allo sviluppo della bomba atomica nel progetto Manhattan, in uno dei test a Trinity, nel 1945, Fermi lasciò cadere due pezzi di carta durante la denotazione ed utilizzò quanto questi si sono spostati nel cadere per lo spostamento d’aria per stimare la forza dell’esplosione. Così Fermi stimò la potenza della detonazione a 10 kilotoni, stima che si rivelò cadere nello stesso ordine di grandezza dell’attuale potenza di quella detonazione, 20 kilotoni.

Un tipico esempio delle stime di Fermi è quello di calcolare quanti accordatori di piano ci sono nella città di Chicago. A prima vista questo problema comprende così tante variabili da sembrare impossibile da stimare. Si tratta però di un perfetto esempio dell’applicazione dell’ordine di potenza del 10, in quanto non abbiamo bisogno di un esatto risultato, ma di una stima. Uno dei primi dati da stabilire è quante persone vivono a Chicago, sappiamo che si tratta di una grande città, ma quante persone vi abitano, 1 milione, 5 milioni, 10 milioni? Anche a questa prima difficoltà sembrerebbe di avere un problema insormontabile, ma che si risolve facilmente con la potenza di 10. Possiamo stimare la popolazione di Chicago nell’ordine di 10^6 (1 milione), non ci dice quante persone esatte vi siano, ma funziona come stima dell’ordine di grandezza della popolazione reale della città, che è di poco meno di 3 milioni. Quindi a Chicago ci sono 10^6 persone, quanti pianoforti ci sono in totale? Possiamo pensare che vi sia 1 pianoforte ogni 10 o 100 persone, considerando tutte le età. Con questa considerazione possiamo così stimare che a Chicago vi siano 10^4 pianoforti. Quindi quanti accordatori di pianoforte vi sono nella città? Potremmo approcciare quest’ultimo problema considerando quanto spesso un pianoforte debba essere accordato, quanti pianoforti sono accordati in un giorno e quanti giorni alla settimana lavora un accordatore, tuttavia queste domande escono dall’ottica della stima rapida. Possiamo infatti stimare che un singolo accordatore accordi un ordine di grandezza di 10^2 pianoforti all’anno (quindi qualche centinaia). Considerando la precedente stima di 10^4 pianoforti a Chicago e l’ultima stima di 10^2 piani accordati da un singolo accordatore l’anno, possiamo stimare che vi siano circa 10^2 accordatori di pianoforte a Chicago.

La domanda spontanea è: come fanno tutte queste stime approssimative a produrre un dato utilizzabile? La risposta è semplice; nei problemi di Fermi si assume che le sovrastime e le sottostime si bilancino producendo una stima che si trova solitamente nel range di un ordine di grandezza di differenza dal dato vero. Nel nostro ultimo caso, possiamo confermare tutto questo contando il numero di accordatori di pianoforte che si trovano nell’elenco telefonico, che corrisponde ad 81.

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One Comment

  1. ste says:

    il kiloton indica l’energia equivalente di 1000 tonnellate di tritolo, quindi non va espresso come “kilotoni di tnt”, è implicito

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