Matematica

Il paradosso dell’Hotel Infinito

Il paradosso dell’Hotel Infinito

Elia Magrinelli

Giugno 4th, 2015

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Questo video spiega l’esperimento teorico creato negli anni ’20 dal matematico Tedesco David Hilbert per spiegare quanto è difficile comprendere il concetto di infinito: il paradosso dell’hotel infinito.

In questo hotel esiste un numero infinito di stanze, una notte queste stanze sono tutte piene, tuttavia arriva un cliente, il direttore, per soddisfarlo chiede all’ospite nella stanza 1 di andare alla 2, quello del 2 alla 3 e così via assegna ogni ospita nella stanza n nella stanza n+1. Quando poi arriva un autobus con 40 clienti, il direttore li riesce ad ospitare nelle stanze da 1 a 40, facendo spostare tutti gli altri ospiti dalla stanza n alla stanza n+40.

Poi però arriva nella stessa notte un autobus infinitamente lungo e con un numero infinito di clienti. Così, il direttore si ricorda che esiste un numero infinito di numeri pari ed un numero infinito di numeri dispari. Chiede quindi a tutti gli ospiti dell’hotel di spostarsi dalla loro stanza n alla stanza 2n, così l’ospite della stanza 1 passa alla 2, quello della 2 alla 4, quello della 3 alla 6 e così via riempiendo le infinite stanze di numero pari. Le stanze dispari, rimaste vuote possono così ospitare tutti i clienti dell’autobus infinitamente lungo.

Visto il grande successo dell’hotel la voce si diffonde ed una notte arriva una fila infinita di autobus infinitamente lunghi ciascuno con un numero infinito di nuovi clienti. Se il direttore non riuscisse ad ospitarli perderebbe un numero infinito di profitto per l’hotel, e sicuramente perderebbe il lavoro. Preso dal panico il direttore riesce comunque a ricordarsi che nel 300 a.c. Euclide dimostrò che esiste un numero infinito di numeri primi. Pertanto, il direttore decide di assegnare tutti gli ospiti già nell’hotel alle stanze ottenute prendendo il primo numero primo, 2, elevato alla potenza della stanza nella quale risiedono gli ospiti dell’hotel. Ad esempio, l’ospite della stanza 7 andrà alla stanza 2^7=128. Quindi il direttore prende gli il primo autobus infinito ed assegna tutti i nuovi clienti alle stanze ottenute prendendo il secondo numero primo, 3, elevato per il numero di sedile che i nuovi clienti avevano sull’autobus. Ad esempio, il nuovo cliente che sedeva al posto 7 del primo autobus viene assegnato alla stanza 3^7=2187. Quindi, per tutti gli altri autobus il direttore non fa altro che cambiare il numero primo al quale moltiplica il numero del sedile del nuovo cliente per assegnar loro delle camere.

In questo modo, moltiplicando sempre un numero primo per un numero naturale riesce a sistemare tutti i nuovi clienti senza mai sovrapporre due stanze. Il direttore è riuscito egregiamente in questo arduo compito anche perché il livello di numeri infiniti considerati è composto solo da numeri naturali, ovvero numeri positivi ed interi (1, 2, 3, 4, 5 ecc.), chiamato anche aleph 0. Se il direttore avesse dovuto occuparsi anche dei numeri reali, trovare una soluzione ai suoi problemi sarebbe stato molto più complicato, poiché comprenderebbe anche stanze dal numero negativo o stanze dai numeri razionali, che sono grandi solo frazioni delle stanze intere. Questo paradosso è un modo molto semplice per comprendere quanto difficile sia in realtà lavorare con il concetto di infinito.

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